Analysis Beispiele

$\log_{5} (9^{s} - 4)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ ist $f' (g (s)) g' (s)$ , mit $f (s) = \log_{5} (s)$ und $g (s) = 9^{s} - 4$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9^{s} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d s} [9^{s} - 4]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\log_{5} (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d s} [9^{s} - 4]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $9^{s} - 4$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} \frac{d}{d s} [9^{s} - 4]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9^{s} - 4$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [9^{s}] + \frac{d}{d s} [- 4]$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (\frac{d}{d s} [9^{s}] + \frac{d}{d s} [- 4])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [a^{s}]$ gleich $a^{s} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $9$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (9^{s} \ln (9) + \frac{d}{d s} [- 4])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $s$ gleich $0$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (9^{s} \ln (9) + 0)$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Addiere $9^{s} \ln (9)$ und $0$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (9^{s} \ln (9))$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $9^{s}$ und $\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)}$ .

$\frac{9^{s}}{(9^{s} - 4) \ln (5)} \ln (9)$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{9^{s}}{(9^{s} - 4) \ln (5)}$ und $\ln (9)$ .

$\frac{9^{s} \ln (9)}{(9^{s} - 4) \ln (5)}$

Schritt 4.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9^{s} \ln (9)}{9^{s} \ln (5) - 4 \ln (5)}$