Analysis Beispiele

$\frac{1}{2 s} - \frac{7}{3 s^{2}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2 s} - \frac{7}{3 s^{2}}$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}]$ .

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 s}$ nach $s$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{s}$ als $s^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- s^{- 2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $s^{- 2}$ .

$- \frac{s^{- 2}}{2} + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

Schritt 2.5

Bringe $s^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- \frac{7}{3}$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{7}{3 s^{2}}$ nach $s$ gleich $- \frac{7}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{s^{2}}$ als ${(s^{2})}^{- 1}$ um.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{2})}^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ ist $f' (g (s)) g' (s)$ , mit $f (s) = s^{- 1}$ und $g (s) = s^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $s^{2}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{2}])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $s^{2}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} (2 s))$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(s^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- s^{2 \cdot - 2} (2 s))$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- s^{- 4} (2 s))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- 2 s^{- 4} s)$

Schritt 3.7

Potenziere $s$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- 2 (s^{1} s^{- 4}))$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- 2 s^{1 - 4})$

Schritt 3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- 2 s^{- 3})$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + 2 (\frac{7}{3}) s^{- 3}$

Schritt 3.11

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{3}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{2 \cdot 7}{3} s^{- 3}$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{14}{3} s^{- 3}$

Schritt 3.13

Kombiniere $\frac{14}{3}$ und $s^{- 3}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{14 s^{- 3}}{3}$

Schritt 3.14

Bringe $s^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{14}{3 s^{3}}$