Analysis Beispiele

$\frac{1 - 8 t}{1 + 8 t}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = 1 - 8 t$ und $g (t) = 1 + 8 t$ .

$\frac{(1 + 8 t) \frac{d}{d t} [1 - 8 t] - (1 - 8 t) \frac{d}{d t} [1 + 8 t]}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 8 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 8 t]$ .

$\frac{(1 + 8 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 8 t]) - (1 - 8 t) \frac{d}{d t} [1 + 8 t]}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + 8 t) (0 + \frac{d}{d t} [- 8 t]) - (1 - 8 t) \frac{d}{d t} [1 + 8 t]}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- 8 t]$ .

$\frac{(1 + 8 t) \frac{d}{d t} [- 8 t] - (1 - 8 t) \frac{d}{d t} [1 + 8 t]}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 8 t$ nach $t$ gleich $- 8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + 8 t) (- 8 \frac{d}{d t} [t]) - (1 - 8 t) \frac{d}{d t} [1 + 8 t]}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + 8 t) (- 8 \cdot 1) - (1 - 8 t) \frac{d}{d t} [1 + 8 t]}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{(1 + 8 t) \cdot - 8 - (1 - 8 t) \frac{d}{d t} [1 + 8 t]}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $1 + 8 t$ .

$\frac{- 8 \cdot (1 + 8 t) - (1 - 8 t) \frac{d}{d t} [1 + 8 t]}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 8 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [8 t]$ .

$\frac{- 8 (1 + 8 t) - (1 - 8 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [8 t])}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{- 8 (1 + 8 t) - (1 - 8 t) (0 + \frac{d}{d t} [8 t])}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 2.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [8 t]$ .

$\frac{- 8 (1 + 8 t) - (1 - 8 t) \frac{d}{d t} [8 t]}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 2.10

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8 t$ nach $t$ gleich $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{- 8 (1 + 8 t) - (1 - 8 t) (8 \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{- 8 (1 + 8 t) - 8 (1 - 8 t) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{- 8 (1 + 8 t) - 8 (1 - 8 t) \cdot 1}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{- 8 (1 + 8 t) - 8 (1 - 8 t)}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 8 \cdot 1 - 8 (8 t) - 8 (1 - 8 t)}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 8 \cdot 1 - 8 (8 t) - 8 \cdot 1 - 8 (- 8 t)}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{- 8 - 8 (8 t) - 8 \cdot 1 - 8 (- 8 t)}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$\frac{- 8 - 64 t - 8 \cdot 1 - 8 (- 8 t)}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{- 8 - 64 t - 8 - 8 (- 8 t)}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$\frac{- 8 - 64 t - 8 + 64 t}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 8 - 64 t - 8 + 64 t$ .

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $- 64 t$ und $64 t$ .

$\frac{- 8 + 0 - 8}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 8$ und $0$ .

$\frac{- 8 - 8}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $8$ von $- 8$ .

$\frac{- 16}{{(1 + 8 t)}^{2}}$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16}{{(1 + 8 t)}^{2}}$