Analysis Beispiele

$2^{\sqrt{t}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [2^{t^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = 2^{t}$ und $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $2^{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{t^{\frac{1}{2}}}}{2} \ln (2)$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{t^{\frac{1}{2}}}}{2}$ und $\ln (2)$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2)}{2}$

Schritt 12

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2)}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Faktorisiere $2$ aus $2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2)$ heraus.

$\frac{2 (2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2))}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2))}{2 (t^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2))}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2)}{t^{\frac{1}{2}}}$