Analysis Beispiele

$\frac{3 t - 1}{t^{2} + 5 t}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = 3 t - 1$ und $g (t) = t^{2} + 5 t$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) \frac{d}{d t} [3 t - 1] - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 + 0) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) \cdot 3 - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t^{2} + 5 t$ .

$\frac{3 \cdot (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 5 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5 \cdot 1)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + (- (3 t) - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- (3 t) - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- 3 t - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- 3 t + 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Multipliziere $(- 3 t + 1) (2 t + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t + 5) + 1 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 t \cdot t - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.1.2

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.4.1.2.1

Bewege $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 (t \cdot t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.1.2.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.1.5

Mutltipliziere $2 t$ mit $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 2 t + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 2 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.2

Addiere $- 15 t$ und $2 t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 13 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $6 t^{2}$ von $3 t^{2}$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 15 t - 13 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $13 t$ von $15 t$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 2 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot 5 = - 15$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t$ heraus.

$\frac{- 3 t^{2} + 2 (t) + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Schreibe $2$ um als $- 3$ plus $5$

$\frac{- 3 t^{2} + (- 3 + 5) t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 t^{2} - 3 t + 5 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 3 t^{2} - 3 t) + 5 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 t (- t - 1) - 5 (- t - 1)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- t - 1$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2} + 5 t$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t \cdot t + 5 t)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $t$ aus $5 t$ heraus.

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t \cdot t + t \cdot 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t + t \cdot 5$ heraus.

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t (t + 5))}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Wende die Produktregel auf $t (t + 5)$ an.

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- t$ heraus.

$\frac{(- (t) - 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Schritt 3.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{(- (t) - 1 (1)) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Schritt 3.9

Schreibe $- (t + 1)$ als $- 1 (t + 1)$ um.

$\frac{- 1 (t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$