Analysis Beispiele

$\frac{5 \cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})} + 6$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5 \cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})} + 6$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{5 \cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})}] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5 \cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})}] + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{5 \cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})}]$ .

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 \cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [\frac{\cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{\cos (\frac{2 t}{π})}{2 + \sin (\frac{2 t}{π})}] + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = \cos (\frac{2 t}{π})$ und $g (t) = 2 + \sin (\frac{2 t}{π})$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) \frac{d}{d t} [\cos (\frac{2 t}{π})] - \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [2 + \sin (\frac{2 t}{π})]}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = \frac{2 t}{π}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{2 t}{π}$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{2 t}{π}]) - \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [2 + \sin (\frac{2 t}{π})]}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{2 t}{π}]) - \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [2 + \sin (\frac{2 t}{π})]}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{2 t}{π}$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [\frac{2 t}{π}]) - \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [2 + \sin (\frac{2 t}{π})]}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.4

Da $\frac{2}{π}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 t}{π}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{π} \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \frac{d}{d t} [t])) - \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [2 + \sin (\frac{2 t}{π})]}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [2 + \sin (\frac{2 t}{π})]}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + \sin (\frac{2 t}{π})$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (\frac{2 t}{π})]$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) (\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (\frac{2 t}{π})])}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.7

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \frac{d}{d t} [\sin (\frac{2 t}{π})])}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \sin (t)$ und $g (t) = \frac{2 t}{π}$ .

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Schritt 2.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{2 t}{π}$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{2 t}{π}])}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.8.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{2 t}{π}])}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{2 t}{π}$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{d}{d t} [\frac{2 t}{π}])}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.9

Da $\frac{2}{π}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 t}{π}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{π} \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \cos (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \frac{d}{d t} [t]))}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1)) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \cos (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1))}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $\frac{2}{π}$ mit $1$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \sin (\frac{2 t}{π}) \frac{2}{π}) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \cos (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1))}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.12

Kombiniere $\frac{2}{π}$ und $\sin (\frac{2 t}{π})$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \cos (\frac{2 t}{π}) (\frac{2}{π} \cdot 1))}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $\frac{2}{π}$ mit $1$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{2}{π})}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.14

Kombiniere $\cos (\frac{2 t}{π})$ und $\frac{2}{π}$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \frac{\cos (\frac{2 t}{π}) \cdot 2}{π})}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.15

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (\frac{2 t}{π})$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \cos (\frac{2 t}{π}) (0 + \frac{2 \cdot \cos (\frac{2 t}{π})}{π})}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.16

Addiere $0$ und $\frac{2 \cos (\frac{2 t}{π})}{π}$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \cos (\frac{2 t}{π}) \frac{2 \cos (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.17

Kombiniere $\frac{2 \cos (\frac{2 t}{π})}{π}$ und $\cos (\frac{2 t}{π})$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \frac{2 \cos (\frac{2 t}{π}) \cos (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.18

Potenziere $\cos (\frac{2 t}{π})$ mit $1$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \frac{2 (\cos^{1} (\frac{2 t}{π}) \cos (\frac{2 t}{π}))}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.19

Potenziere $\cos (\frac{2 t}{π})$ mit $1$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \frac{2 (\cos^{1} (\frac{2 t}{π}) \cos^{1} (\frac{2 t}{π}))}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \frac{2 {\cos (\frac{2 t}{π})}^{1 + 1}}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.21

Addiere $1$ und $1$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - \frac{2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.22

Um $(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{π}{π}$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) \cdot \frac{π}{π} - \frac{2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.23

Kombiniere $(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π})$ und $\frac{π}{π}$ .

$5 \frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) π}{π} - \frac{2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) π - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.25

Kombiniere $π$ und $\frac{2 \sin (\frac{2 t}{π})}{π}$ .

$5 \frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{π (2 \sin (\frac{2 t}{π}))}{π}) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.26

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$5 \frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 \cdot π \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.27

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.27.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- \frac{2 π \sin (\frac{2 t}{π})}{π}) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.27.2

Dividiere $2 \sin (\frac{2 t}{π})$ durch $1$ .

$5 \frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- (2 \sin (\frac{2 t}{π}))) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.28

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 \frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.29

Schreibe $\frac{\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$ als ein Produkt um.

$5 (\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π} \cdot \frac{1}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}) + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.30

Mutltipliziere $\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π}$ mit $\frac{1}{{(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$ .

$5 \frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 2.31

Kombiniere $5$ und $\frac{(2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$ .

$\frac{5 ((2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + \frac{d}{d t} [6]$

Schritt 3

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{5 ((2 + \sin (\frac{2 t}{π})) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (2 (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) + \sin (\frac{2 t}{π}) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (2 (- 2 \sin (\frac{2 t}{π}))) + 5 (\sin (\frac{2 t}{π}) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π}))) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{5 (- 4 \sin (\frac{2 t}{π})) + 5 (\sin (\frac{2 t}{π}) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π}))) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) + 5 (\sin (\frac{2 t}{π}) (- 2 \sin (\frac{2 t}{π}))) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sin (\frac{2 t}{π})$ mit $1$ .

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) + 5 (- 2 (\sin^{1} (\frac{2 t}{π}) \sin (\frac{2 t}{π}))) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

Schritt 4.3.4

Potenziere $\sin (\frac{2 t}{π})$ mit $1$ .

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) + 5 (- 2 (\sin^{1} (\frac{2 t}{π}) \sin^{1} (\frac{2 t}{π}))) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

Schritt 4.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) + 5 (- 2 {\sin (\frac{2 t}{π})}^{1 + 1}) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

Schritt 4.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) + 5 (- 2 \sin^{2} (\frac{2 t}{π})) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 \sin^{2} (\frac{2 t}{π}) + 5 (- 2 \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

Schritt 4.3.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 \sin^{2} (\frac{2 t}{π}) - 10 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}} + 0$

Schritt 4.3.9

Addiere $\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 \sin^{2} (\frac{2 t}{π}) - 10 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$ und $0$ .

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 \sin^{2} (\frac{2 t}{π}) - 10 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 \sin^{2} (\frac{2 t}{π})$ heraus.

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 (\sin^{2} (\frac{2 t}{π})) - 10 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 \cos^{2} (\frac{2 t}{π})$ heraus.

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 (\sin^{2} (\frac{2 t}{π})) - 10 (\cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 (\sin^{2} (\frac{2 t}{π})) - 10 (\cos^{2} (\frac{2 t}{π}))$ heraus.

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 (\sin^{2} (\frac{2 t}{π}) + \cos^{2} (\frac{2 t}{π}))}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

Schritt 4.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 \cdot 1}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $- 10$ aus $- 20 \sin (\frac{2 t}{π}) - 10 \cdot 1$ heraus.

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Schritt 4.8.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 20 \sin (\frac{2 t}{π})$ heraus.

$\frac{- 10 (2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 10 \cdot 1}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

Schritt 4.8.2

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 \cdot 1$ heraus.

$\frac{- 10 (2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 10 (1)}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

Schritt 4.8.3

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 (2 \sin (\frac{2 t}{π})) - 10 (1)$ heraus.

$\frac{- 10 (2 \sin (\frac{2 t}{π}) + 1)}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$

Schritt 4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10 (2 \sin (\frac{2 t}{π}) + 1)}{π {(2 + \sin (\frac{2 t}{π}))}^{2}}$