Analysis Beispiele

$\frac{6}{t^{2} + 5 t - 9}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{t^{2} + 5 t - 9}$ nach $t$ gleich $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}$ als ${(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 1}$ um.

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{2} + 5 t - 9$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{2} + 5 t - 9$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$6 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{2} + 5 t - 9$ .

$6 (- {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 ({(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 5 t - 9$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Schritt 3.4

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 9])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 9])$

Schritt 3.7

Da $- 9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 + 0)$

Schritt 3.8

Addiere $2 t + 5$ und $0$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $- \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$ um.

$- (2 t + 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (2 t) - 1 \cdot 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 t - 1 \cdot 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$(- 2 t - 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 2 t - 5$ mit $\frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 t - 5) \cdot 6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Schritt 4.8

Bringe $6$ auf die linke Seite von $- 2 t - 5$ .

$\frac{6 \cdot (- 2 t - 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Schritt 4.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 t$ heraus.

$\frac{6 (- (2 t) - 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Schritt 4.10

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{6 (- (2 t) - 1 (5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Schritt 4.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 t) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{6 (- (2 t + 5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Schritt 4.12

Schreibe $- (2 t + 5)$ als $- 1 (2 t + 5)$ um.

$\frac{6 (- 1 (2 t + 5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Schritt 4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$