Analysis Beispiele

$\frac{8 + e^{t}}{3 t^{4} - t}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = 8 + e^{t}$ und $g (t) = 3 t^{4} - t$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) \frac{d}{d t} [8 + e^{t}] - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 + e^{t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [e^{t}]) - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) (0 + \frac{d}{d t} [e^{t}]) - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) \frac{d}{d t} [e^{t}] - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t^{4} - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 4.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t^{4}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (3 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (3 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 4.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - \frac{d}{d t} [t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1 \cdot 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} + (- 1 \cdot 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} + (- 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(- 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3} - 1) - e^{t} (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3}) - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3}) - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 8$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 1 \cdot 12 e^{t} t^{3} - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3.5

Multipliziere $- e^{t} \cdot - 1$ .

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Schritt 5.3.1.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + 1 e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3.5.2

Mutltipliziere $e^{t}$ mit $1$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Stelle die Faktoren in $3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + e^{t}$ um.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 t^{3} e^{t} + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 96 t^{3} + 3 e^{t} t^{4} - e^{t} t - 12 e^{t} t^{3} + 8 + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$