Analysis Beispiele

$t^{11} \ln (| t |)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{11}$ und $g (t) = \ln (| t |)$ .

$t^{11} \frac{d}{d t} [\ln (| t |)] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = | t |$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $| t |$ .

$t^{11} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$t^{11} (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $| t |$ .

$t^{11} (\frac{1}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 3

Kombiniere $\frac{1}{| t |}$ und $t^{11}$ .

$\frac{t^{11}}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 4

Die Ableitung von $| t |$ nach $t$ ist $\frac{t}{| t |}$ .

$\frac{t^{11}}{| t |} \cdot \frac{t}{| t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{t^{11}}{| t |}$ mit $\frac{t}{| t |}$ .

$\frac{t^{11} t}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 6

Multipliziere $t^{11}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $t^{11}$ mit $t$ .

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Schritt 6.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{11} t^{1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{11 + 1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 6.2

Addiere $11$ und $1$ .

$\frac{t^{12}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 7

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{t^{12}}{| t \cdot t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 8

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{12}}{| t^{1} t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 9

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{12}}{| t^{1} t^{1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{12}}{| t^{1 + 1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{t^{12}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{11}]$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 11$ .

$\frac{t^{12}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) (11 t^{10})$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Stelle die Terme um.

$\frac{t^{12}}{| t^{2} |} + 11 t^{10} \ln (| t |)$

Schritt 13.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{t^{12}}{t^{2}} + 11 t^{10} \ln (| t |)$

Schritt 13.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{12}$ und $t^{2}$ .

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Schritt 13.2.2.1

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{12}$ heraus.

$\frac{t^{2} t^{10}}{t^{2}} + 11 t^{10} \ln (| t |)$

Schritt 13.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{t^{2} t^{10}}{t^{2} \cdot 1} + 11 t^{10} \ln (| t |)$

Schritt 13.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{2} t^{10}}{t^{2} \cdot 1} + 11 t^{10} \ln (| t |)$

Schritt 13.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t^{10}}{1} + 11 t^{10} \ln (| t |)$

Schritt 13.2.2.2.4

Dividiere $t^{10}$ durch $1$ .

$t^{10} + 11 t^{10} \ln (| t |)$