Analysis Beispiele

$\frac{t - 1}{t^{2} + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t - 1$ und $g (t) = t^{2} + 1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(t^{2} + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $t^{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $2 t$ und $0$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 1 - 2 (t - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{2} + 1 + (- 2 t - 2 \cdot - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t \cdot t - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1.1

Bewege $t$ .

$\frac{t^{2} + 1 - 2 (t \cdot t) - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2} - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2} + 2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $2 t^{2}$ von $t^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1 + 2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- t^{2}$ heraus.

$\frac{- (t^{2}) + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $2 t$ heraus.

$\frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{2}) - (- 2 t)$ heraus.

$\frac{- (t^{2} - 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.10

Schreibe $- (t^{2} - 2 t - 1)$ als $- 1 (t^{2} - 2 t - 1)$ um.

$\frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$