Analysis Beispiele

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = \sin (t)$ und $g (t) = 1 - \cos (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)] - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sin (t)$ nach $t$ ist $\cos (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [- \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (t)$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (- \frac{d}{d t} [\cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 3.5

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + 1 \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 5

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 6

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - {\sin (t)}^{1 + 1}}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Mutltipliziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Multipliziere $- \cos (t) \cos (t)$ .

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Schritt 9.2.1.2.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos (t) - {\cos (t)}^{1 + 1} - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos (t) - \cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (t)$ heraus.

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (t)$ heraus.

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))$ heraus.

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.2.5

Ordne Terme um.

$\frac{\cos (t) - (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.2.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\cos (t) - 1 \cdot 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.3

Vereine die Terme

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos (t) - 1$ und ${(1 - \cos (t))}^{2}$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (t)$ heraus.

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.3.1.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- 1 (- \cos (t) + 1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.3.1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (1 - \cos (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.3.1.5

Faktorisiere $1 - \cos (t)$ aus $- 1 (1 - \cos (t))$ heraus.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Schritt 9.3.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1.6.1

Faktorisiere $1 - \cos (t)$ aus ${(1 - \cos (t))}^{2}$ heraus.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Schritt 9.3.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Schritt 9.3.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1 - \cos (t)}$

Schritt 9.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{1 - \cos (t)}$