Analysis Beispiele

$\frac{t}{7 + t^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = 7 + t^{2}$ .

$\frac{(7 + t^{2}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(7 + t^{2}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $7 + t^{2}$ mit $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 + t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{7 + t^{2} - t (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{7 + t^{2} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{7 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{7 + t^{2} - t (2 t)}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 t \cdot t}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 (t^{1} t)}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 4

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 (t^{1} t^{1})}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7 + t^{2} - 2 t^{1 + 1}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 t^{2}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 7

Subtrahiere $2 t^{2}$ von $t^{2}$ .

$\frac{7 - t^{2}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$\frac{- t^{2} + 7}{{(t^{2} + 7)}^{2}}$