Analysis Beispiele

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = {(1 + 5 t)}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(1 + 5 t)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [{(1 + 5 t)}^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 t)}^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(1 + 5 t)}^{2}$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 t)}^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = 1 + 5 t$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 + 5 t$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [1 + 5 t])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [1 + 5 t])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + 5 t$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) \frac{d}{d t} [1 + 5 t])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 5 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 t]))$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) (0 + \frac{d}{d t} [5 t]))$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) \frac{d}{d t} [5 t])$

Schritt 3.4

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) (5 \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 (1 + 5 t) \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 (1 + 5 t) \cdot 1)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 (1 + 5 t))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 \cdot 1 + 10 (5 t))$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 + 10 (5 t))$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 + 50 t)$