Analysis Beispiele

${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{4}$ und $g (t) = 8 t - 7$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $8 t - 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $8 t - 7$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 t - 7$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Schritt 2.3

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8 t$ nach $t$ gleich $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Schritt 2.5

Da $- 7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Schritt 2.7

Addiere $8$ und $0$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} \cdot 8 + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{4}$ und $g (t) = 8 t + 7$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $8 t + 7$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $8 t + 7$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 t + 7$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7]$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7])$

Schritt 3.3

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8 t$ nach $t$ gleich $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [7])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [7])$

Schritt 3.5

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0)$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 + 0)$

Schritt 3.7

Addiere $8$ und $0$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \cdot 8$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $32$ aus $32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $32$ aus $32 {(8 t - 7)}^{3}$ heraus.

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $32$ aus $32 {(8 t + 7)}^{3}$ heraus.

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $32$ aus $32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$ heraus.

$32 ({(8 t - 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$32 ({(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Produktregel auf $8 t$ an.

$32 (8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Schritt 4.2.2.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$32 (512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Schritt 4.2.2.3

Wende die Produktregel auf $8 t$ an.

$32 (512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$32 (512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $64$ mit $3$ .

$32 (512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Schritt 4.2.2.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $192$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Schritt 4.2.2.8

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Schritt 4.2.2.9

Mutltipliziere $49$ mit $24$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Schritt 4.2.2.10

Potenziere $- 7$ mit $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t + 7)}^{3})$

Schritt 4.2.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Wende die Produktregel auf $8 t$ an.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Schritt 4.2.4.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Schritt 4.2.4.3

Wende die Produktregel auf $8 t$ an.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Schritt 4.2.4.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Schritt 4.2.4.5

Mutltipliziere $64$ mit $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Schritt 4.2.4.6

Mutltipliziere $7$ mit $192$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Schritt 4.2.4.7

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Schritt 4.2.4.8

Potenziere $7$ mit $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + 7^{3})$

Schritt 4.2.4.9

Mutltipliziere $49$ mit $24$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 7^{3})$

Schritt 4.2.4.10

Potenziere $7$ mit $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343)$

Schritt 4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343$ .

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Schritt 4.3.1

Addiere $- 1344 t^{2}$ und $1344 t^{2}$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 0 + 1176 t + 343)$

Schritt 4.3.2

Addiere $512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3}$ und $0$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1176 t + 343)$

Schritt 4.3.3

Addiere $- 343$ und $343$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t + 0)$

Schritt 4.3.4

Addiere $512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t$ und $0$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t)$

Schritt 4.4

Addiere $512 t^{3}$ und $512 t^{3}$ .

$32 (1024 t^{3} + 1176 t + 1176 t)$

Schritt 4.5

Addiere $1176 t$ und $1176 t$ .

$32 (1024 t^{3} + 2352 t)$

Schritt 4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$32 (1024 t^{3}) + 32 (2352 t)$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $1024$ mit $32$ .

$32768 t^{3} + 32 (2352 t)$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $2352$ mit $32$ .

$32768 t^{3} + 75264 t$