Analysis Beispiele

$\frac{- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t}{{(1 - t)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = - 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t$ und $g (t) = {(1 - t)}^{2}$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t] - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{({(1 - t)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - t)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t] - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t] - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [- 2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (\frac{d}{d t} [- 2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2 t^{3}$ nach $t$ gleich $- 2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 2.6

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t^{2}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 2.9

Da $- 4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 4 t$ nach $t$ gleich $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4 \frac{d}{d t} [t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4 \cdot 1) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = 1 - t$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - t$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (2 u \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - t$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (2 (1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $1 - t$ aus ${(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $1 - t$ aus ${(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4)$ heraus.

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $1 - t$ aus $- 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])$ heraus.

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)) + (1 - t) (- 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $1 - t$ aus $(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)) + (1 - t) (- 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))$ heraus.

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{{(1 - t)}^{4}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $1 - t$ aus ${(1 - t)}^{4}$ heraus.

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{(1 - t) {(1 - t)}^{3}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{(1 - t) {(1 - t)}^{3}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 7

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (0 + \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [- t]}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (- \frac{d}{d t} [t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \cdot 1}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.1

Multipliziere $(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{1 (- 6 t^{2}) + 1 (10 t) + 1 \cdot - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 6 t^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 1 (10 t) + 1 \cdot - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2.2

Mutltipliziere $10 t$ mit $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t + 1 \cdot - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 t \cdot t^{2} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2.5

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.1.2.5.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 (t^{2} t) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2.5.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 13.2.1.2.5.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 (t^{2} t^{1}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 t^{2 + 1} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 t^{3} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 1 \cdot 10 t \cdot t - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2.8

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.1.2.8.1

Bewege $t$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 1 \cdot 10 (t \cdot t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2.8.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 1 \cdot 10 t^{2} - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 10 t^{2} - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 10 t^{2} + 4 t + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.3

Subtrahiere $10 t^{2}$ von $- 6 t^{2}$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} + 4 t + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.4

Addiere $10 t$ und $4 t$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 10 t^{2} + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 10 t^{2} - 8 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.2

Addiere $- 16 t^{2}$ und $10 t^{2}$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} - 8 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.3

Subtrahiere $8 t$ von $14 t$ .

$\frac{- 6 t^{2} - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 6 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.2.4

Subtrahiere $4 t^{3}$ von $6 t^{3}$ .

$\frac{- 6 t^{2} - 4 + 2 t^{3} + 6 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Schritt 13.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2 t^{3} - 6 t^{2} + 6 t - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Schritt 13.4

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{3} - 6 t^{2} + 6 t - 4$ heraus.

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Schritt 13.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{3}$ heraus.

$\frac{2 (t^{3}) - 6 t^{2} + 6 t - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Schritt 13.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 t^{2}$ heraus.

$\frac{2 (t^{3}) + 2 (- 3 t^{2}) + 6 t - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Schritt 13.4.3

Faktorisiere $2$ aus $6 t$ heraus.

$\frac{2 (t^{3}) + 2 (- 3 t^{2}) + 2 (3 t) - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Schritt 13.4.4

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 t^{3} + 2 (- 3 t^{2}) + 2 (3 t) + 2 \cdot - 2}{{(- t + 1)}^{3}}$

Schritt 13.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{3} + 2 (- 3 t^{2})$ heraus.

$\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2}) + 2 (3 t) + 2 \cdot - 2}{{(- t + 1)}^{3}}$

Schritt 13.4.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (t^{3} - 3 t^{2}) + 2 (3 t)$ heraus.

$\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t) + 2 \cdot - 2}{{(- t + 1)}^{3}}$

Schritt 13.4.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t) + 2 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$