Analysis Beispiele

${(20 \cos (100 t))}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $20$ aus $20 \cos (100 t)$ heraus.

$\frac{d}{d t} [{(20 (\cos (100 t)))}^{2}]$

Schritt 1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1

Wende die Produktregel auf $20 (\cos (100 t))$ an.

$\frac{d}{d t} [20^{2} \cos^{2} (100 t)]$

Schritt 1.2.2

Potenziere $20$ mit $2$ .

$\frac{d}{d t} [400 \cos^{2} (100 t)]$

Schritt 1.3

Da $400$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $400 \cos^{2} (100 t)$ nach $t$ gleich $400 \frac{d}{d t} [\cos^{2} (100 t)]$ .

$400 \frac{d}{d t} [\cos^{2} (100 t)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \cos (100 t)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (100 t)$ .

$400 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$400 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (100 t)$ .

$400 (2 \cos (100 t) \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $400$ .

$800 (\cos (100 t) \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = 100 t$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $100 t$ .

$800 \cos (100 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [100 t])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$800 \cos (100 t) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [100 t])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $100 t$ .

$800 \cos (100 t) (- \sin (100 t) \frac{d}{d t} [100 t])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $800$ .

$- 800 \cos (100 t) (\sin (100 t) \frac{d}{d t} [100 t])$

Schritt 5.2

Da $100$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $100 t$ nach $t$ gleich $100 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 800 \cos (100 t) \sin (100 t) (100 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $100$ mit $- 800$ .

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t) \cdot 1$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 80000$ mit $1$ .

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t)$