Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{a + b t}}{t}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a + b t}$ als ${(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [\frac{{(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{t}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = t$ .

$\frac{t \frac{d}{d t} [{(a + b t)}^{\frac{1}{2}}] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = a + b t$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $a + b t$ .

$\frac{t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $a + b t$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{t (\frac{{(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 8.3

Bringe ${(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ und $t$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [a + b t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a + b t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [a] + \frac{d}{d t} [b t]$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [a] + \frac{d}{d t} [b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 10

Da $a$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [b t]$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [b t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 12

Da $b$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $b t$ nach $t$ gleich $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (b \frac{d}{d t} [t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 13

Kombiniere $b$ und $\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 15

Mutltipliziere $\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 16

Mutltipliziere $\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$ mit $\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 17

Kombinieren.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 18

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 19

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 19.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 19.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{b t + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 20

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} ({(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 22

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 22.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 22.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 23

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 23.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 23.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{1} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 24

Vereinfache.

$\frac{b t - 2 (a + b t) \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 25

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{b t - 2 (a + b t) \cdot 1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 26

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{b t - 2 (a + b t)}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 27

Vereinfache.

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Schritt 27.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{b t - 2 a - 2 (b t)}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 27.2

Subtrahiere $2 b t$ von $b t$ .

$\frac{- 2 a - b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Schritt 27.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 a - b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 27.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 a$ heraus.

$\frac{- (2 a) - b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 27.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- b t$ heraus.

$\frac{- (2 a) - (b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 27.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 a) - (b t)$ heraus.

$\frac{- (2 a + b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 27.7

Schreibe $- (2 a + b t)$ als $- 1 (2 a + b t)$ um.

$\frac{- 1 (2 a + b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 27.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 a + b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$