Analysis Beispiele

$\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Schritt 2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} t + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{2}{4}$ und $t$ .

$\frac{2 t}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t$ heraus.

$\frac{2 (t)}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Schritt 2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t}{2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (t + 1)$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

$\frac{t}{2} - \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = t + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t + 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $t + 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + 0))$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \cdot 1)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{t + 1}$ mit $1$ .

$\frac{t}{2} - \frac{1}{t + 1}$

Schritt 4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1

Um $\frac{t}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1}$

Schritt 4.2

Um $- \frac{1}{t + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (t + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{t}{2}$ mit $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{t + 1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{(t + 1) \cdot 2}$

Schritt 4.3.3

Stelle die Faktoren von $(t + 1) \cdot 2$ um.

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{2 (t + 1)}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t (t + 1) - 2}{2 (t + 1)}$