Analysis Beispiele

$\frac{1}{2} \cdot {(6 t^{2} + t)}^{- 3}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} \cdot {(6 t^{2} + t)}^{- 3}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [{(6 t^{2} + t)}^{- 3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [{(6 t^{2} + t)}^{- 3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 3}$ und $g (t) = 6 t^{2} + t$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 t^{2} + t$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$\frac{1}{2} (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $6 t^{2} + t$ .

$\frac{1}{2} (- 3 {(6 t^{2} + t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2} ({(6 t^{2} + t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t])$

Schritt 3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere ${(6 t^{2} + t)}^{- 4}$ und $\frac{- 3}{2}$ .

$\frac{{(6 t^{2} + t)}^{- 4} \cdot - 3}{2} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von ${(6 t^{2} + t)}^{- 4}$ .

$\frac{- 3 \cdot {(6 t^{2} + t)}^{- 4}}{2} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t]$

Schritt 3.2.2.2

Bringe ${(6 t^{2} + t)}^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t]$

Schritt 3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 t^{2} + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (\frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.4

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $6 t^{2}$ nach $t$ gleich $6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (6 (2 t) + \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (12 t + \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (12 t + 1)$

Schritt 3.8

Stelle die Faktoren von $- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (12 t + 1)$ um.

$- (12 t + 1) \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}}$