Analysis Beispiele

$(5 t^{3} + t^{2}) (2 t - 4)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = 5 t^{3} + t^{2}$ und $g (t) = 2 t - 4$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) \frac{d}{d t} [2 t - 4] + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t - 4$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 4]) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4]) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 4]) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (2 + \frac{d}{d t} [- 4]) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Schritt 2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (2 + 0) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) \cdot 2 + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Schritt 2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $5 t^{3} + t^{2}$ .

$2 \cdot (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 t^{3} + t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (\frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 2.8

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t^{3}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (5 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (5 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (15 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (15 t^{2} + 2 t)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (5 t^{3}) + 2 t^{2} + (2 t - 4) (15 t^{2} + 2 t)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (5 t^{3}) + 2 t^{2} + (2 t - 4) (15 t^{2}) + (2 t - 4) (2 t)$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (5 t^{3}) + 2 t^{2} + 2 t (15 t^{2}) - 4 (15 t^{2}) + (2 t - 4) (2 t)$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (5 t^{3}) + 2 t^{2} + 2 t (15 t^{2}) - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Schritt 3.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 2 t (15 t^{2}) - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t \cdot t^{2} - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Schritt 3.5.3

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.3.1

Bewege $t^{2}$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 (t^{2} t) - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Schritt 3.5.3.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 3.5.3.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 (t^{2} t^{1}) - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Schritt 3.5.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{2 + 1} - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Schritt 3.5.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $15$ mit $- 4$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Schritt 3.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 t \cdot t - 4 (2 t)$

Schritt 3.5.6

Potenziere $t$ mit $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 (t^{1} t) - 4 (2 t)$

Schritt 3.5.7

Potenziere $t$ mit $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 (t^{1} t^{1}) - 4 (2 t)$

Schritt 3.5.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 t^{1 + 1} - 4 (2 t)$

Schritt 3.5.9

Addiere $1$ und $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 t^{2} - 4 (2 t)$

Schritt 3.5.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t$

Schritt 3.5.11

Addiere $- 60 t^{2}$ und $4 t^{2}$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 56 t^{2} - 8 t$

Schritt 3.5.12

Addiere $10 t^{3}$ und $30 t^{3}$ .

$40 t^{3} + 2 t^{2} - 56 t^{2} - 8 t$

Schritt 3.5.13

Subtrahiere $56 t^{2}$ von $2 t^{2}$ .

$40 t^{3} - 54 t^{2} - 8 t$