Analysis Beispiele

$(1 + \sqrt{t}) (2 t^{2} - 3)$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 t^{2} - 3)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = 1 + t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = 2 t^{2} - 3$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 3] + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t^{2} - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t^{2}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t + 0) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $4 t$ und $0$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cdot (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.8

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 \cdot 1 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 1 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 1 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4

Vereine die Terme

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Schritt 11.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$4 t + 4 (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 t + 4 t^{1 + \frac{1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$4 t + 4 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 t + 4 t^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.6

Addiere $2$ und $1$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{2} \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.8

Kombiniere $t^{2}$ und $\frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{t^{2} \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot t^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.10

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{2} t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.11

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.4.11.1

Bewege $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (t^{- \frac{1}{2}} t^{2})}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.11.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + 2}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.11.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.11.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.11.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.11.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.11.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.11.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.12

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.13

Dividiere $t^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.14

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4.16

Addiere $4 t^{\frac{3}{2}}$ und $t^{\frac{3}{2}}$ .

$4 t + 5 t^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$