Analysis Beispiele

$y = \sqrt{\ln (2 x)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\ln (2 x)}$ als ${\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \ln (2 x)$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (2 x)$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Schritt 4.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Schritt 4.6.3

Bringe ${\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.7.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x}$ mit $\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x (2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.8.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.8.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.8.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.8.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (1)}{2 (2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{1}{2 x {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$