Analysis Beispiele

${(e^{t^{2}} + 5 t)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = e^{t^{2}} + 5 t$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{t^{2}} + 5 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} + 5 t]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} + 5 t]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{t^{2}} + 5 t$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} + 5 t]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{t^{2}} + 5 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [e^{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (\frac{d}{d t} [e^{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [5 t])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = t^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t^{2}$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t^{2}$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} (2 t) + \frac{d}{d t} [5 t])$

Schritt 4.2

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} (2 t) + 5 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} (2 t) + 5 \cdot 1)$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} (2 t) + 5)$