Analysis Beispiele

${(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = \frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

$3 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$ .

$3 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} (5 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}])$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = 3 t^{2} + 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{(3 t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{(3 t^{2} + 2) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 t^{2} + 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 \cdot (3 t^{2} + 2) t - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t^{2} + 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.4

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t^{2}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.7

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1

Addiere $6 t$ und $0$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{2} t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 5

Potenziere $t$ mit $1$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 (t^{1} t^{2})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{1 + 2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 7

Addiere $1$ und $2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ und $15$ .

$\frac{(2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}) \cdot 15}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2}$

Schritt 9

Bringe $15$ auf die linke Seite von $2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}$ .

$\frac{15 \cdot (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2}$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ an.

$\frac{15 (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(5 t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.2

Wende die Produktregel auf $5 t^{2}$ an.

$\frac{15 (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 ((2 (3 t^{2}) + 2 \cdot 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 (2 (3 t^{2}) t + 2 \cdot 2 t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 (2 (3 t^{2}) t) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{15 (6 t^{2} t) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{15 (6 (t^{1} t^{2})) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 (6 t^{1 + 2}) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{15 (6 t^{3}) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.5

Mutltipliziere $6$ mit $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{90 t^{3} + 15 (4 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.7

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 60 t + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.8

Mutltipliziere $- 6$ mit $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 60 t - 90 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.9

Subtrahiere $90 t^{3}$ von $90 t^{3}$ .

$\frac{60 t + 0}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.10

Addiere $60 t$ und $0$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.11

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.12

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.6.12.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 t^{2 \cdot 2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.13

Mutltipliziere $\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ mit $\frac{25 t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{60 t (25 t^{4})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.14

Mutltipliziere $25$ mit $60$ .

$\frac{1500 t \cdot t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.15

Multipliziere $t$ mit $t^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.6.15.1

Bewege $t^{4}$ .

$\frac{1500 (t^{4} t)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.15.2

Mutltipliziere $t^{4}$ mit $t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.6.15.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{1500 (t^{4} t^{1})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.15.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1500 t^{4 + 1}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.15.3

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 10.6.16

Multipliziere ${(3 t^{2} + 2)}^{2}$ mit ${(3 t^{2} + 2)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.6.16.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2 + 2}}$

Schritt 10.6.16.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{4}}$