Analysis Beispiele

$(3 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = 3 t - 1$ und $g (t) = {(2 t - 2)}^{- 1}$ .

$(3 t - 1) \frac{d}{d t} [{(2 t - 2)}^{- 1}] + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = 2 t - 2$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 t - 2$ .

$(3 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(3 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 t - 2$ .

$(3 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t - 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$(3 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(3 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(3 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(3 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Schritt 3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(3 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + 0)) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$(3 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \cdot 2) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(3 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$(3 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.8

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(3 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(3 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(3 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (3 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(3 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (3 + 0)$

Schritt 3.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.12.1

Addiere $3$ und $0$ .

$(3 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \cdot 3$

Schritt 3.12.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(2 t - 2)}^{- 1}$ .

$(3 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + 3 \cdot {(2 t - 2)}^{- 1}$

Schritt 3.12.3

Stelle die Terme um.

$- 2 {(2 t - 2)}^{- 2} (3 t - 1) + 3 {(2 t - 2)}^{- 1}$