Analysis Beispiele

$\frac{t^{3} + 2 t^{2}}{\sqrt{t}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{3} + 2 t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{3} + 2 t^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{3}$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t + 2 t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2

Faktorisiere $t^{2}$ aus $2 t^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t + t^{2} \cdot 2}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.3

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{2} t + t^{2} \cdot 2$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t + 2)}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 3

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} (t + 2) t^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2}} t^{2} (t + 2)]$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + 2} (t + 2)]$

Schritt 4.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (t + 2)]$

Schritt 4.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (t + 2)]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (t + 2)]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{- 1 + 4}{2}} (t + 2)]$

Schritt 4.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}} (t + 2)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ und $g (t) = t + 2$ .

$t^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2] + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$t^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$t^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d t} [2]) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 6.3

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$t^{\frac{3}{2}} (1 + 0) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$t^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $t^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $t^{\frac{1}{2}}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t^{\frac{3}{2}} + t \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 12.2

Vereine die Terme

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $t$ und $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{t (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 12.2.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (t^{1} t^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 12.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 12.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 12.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 12.2.6

Addiere $2$ und $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 12.2.7

Kombiniere $2$ und $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 12.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 12.2.9

Faktorisiere $2$ aus $6 t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 12.2.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Schritt 12.2.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.10.3

Forme den Ausdruck um.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1}$

Schritt 12.2.10.4

Dividiere $3 t^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Schritt 12.2.11

Um $t^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Schritt 12.2.12

Kombiniere $t^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Schritt 12.2.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Schritt 12.2.14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{3}{2}} + 3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Schritt 12.2.15

Addiere $2 t^{\frac{3}{2}}$ und $3 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Schritt 12.3

Stelle die Terme um.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$