Analysis Beispiele

$\frac{t^{2} + 8}{7 t}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t^{2} + 8}{7 t}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 8}{t}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 8}{t}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{2} + 8$ und $g (t) = t$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 8$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{t (2 t + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3.3

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{t (2 t + 0) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3.4

Addiere $2 t$ und $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{t (2 t) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 4

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 (t^{1} t) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 5

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 (t^{1} t^{1}) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 t^{1 + 1} - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 8) \cdot 1}{t^{2}}$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 8)}{t^{2}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 8)}{t^{2}}$ .

$\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 8)}{7 t^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1 \cdot 8}{7 t^{2}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 8}{7 t^{2}}$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $t^{2}$ von $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 8}{7 t^{2}}$