Analysis Beispiele

${(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = t^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 6.3

Bringe ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 9

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t + 0)$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Addiere $2 t$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t)$

Schritt 10.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} t$

Schritt 10.3

Kombiniere $\frac{2}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $t$ .

$\frac{2 t}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 t}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t}{{(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$