Analysis Beispiele

${(t^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t^{2} - 5$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 5]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [t^{2} - 5]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{2} - 5$ .

$2 (t^{2} - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} - 5]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} - 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$2 (t^{2} - 5) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (t^{2} - 5) (2 t + \frac{d}{d t} [- 5])$

Schritt 2.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 (t^{2} - 5) (2 t + 0)$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 t$ und $0$ .

$2 (t^{2} - 5) (2 t)$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (t^{2} - 5) t$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 t^{2} + 4 \cdot - 5) t$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 t^{2} t + 4 \cdot - 5 t$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$4 (t^{1} t^{2}) + 4 \cdot - 5 t$

Schritt 3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 t^{1 + 2} + 4 \cdot - 5 t$

Schritt 3.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$4 t^{3} + 4 \cdot - 5 t$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$4 t^{3} - 20 t$