Analysis Beispiele

${(\frac{t^{3}}{t^{8} + 3})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

$2 \frac{t^{3}}{t^{8} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Schritt 2

Kombiniere $2$ und $\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = t^{8} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{(t^{8} + 3) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 3]}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{(t^{8} + 3) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 3]}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t^{8} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 3]}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{8} + 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Schritt 4.5

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + 0)}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Addiere $8 t^{7}$ und $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (8 t^{7})}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{3} t^{7}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Schritt 5

Multipliziere $t^{3}$ mit $t^{7}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bewege $t^{7}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 (t^{7} t^{3})}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{7 + 3}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Addiere $7$ und $3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3}$ mit $\frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{(t^{8} + 3) {(t^{8} + 3)}^{2}}$

Schritt 7

Multipliziere $t^{8} + 3$ mit ${(t^{8} + 3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere $t^{8} + 3$ mit ${(t^{8} + 3)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Potenziere $t^{8} + 3$ mit $1$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{1} {(t^{8} + 3)}^{2}}$

Schritt 7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{1 + 2}}$

Schritt 7.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{8} + 3 \cdot 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2} + 3 \cdot 3 t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.1

Multipliziere $t^{3}$ mit $t^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.1.1

Bewege $t^{8}$ .

$\frac{2 (t^{8} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 t^{8 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.1.3

Addiere $8$ und $3$ .

$\frac{2 t^{11} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.3

Multipliziere $t^{11}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.3.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{11}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.3.3

Addiere $2$ und $11$ .

$\frac{2 \cdot 3 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.6

Multipliziere $t^{3}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.6.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.6.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.7

Multipliziere $2 \cdot 3 \cdot 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 6 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.7.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} t^{10}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.9

Multipliziere $t^{3}$ mit $t^{10}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.9.1

Bewege $t^{10}$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{10} t^{3})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{10 + 3}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.9.3

Addiere $10$ und $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{13}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} - 16 t^{13}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.2

Subtrahiere $16 t^{13}$ von $6 t^{13}$ .

$\frac{- 10 t^{13} + 18 t^{5}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.5

Faktorisiere $2 t^{5}$ aus $- 10 t^{13} + 18 t^{5}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.1

Faktorisiere $2 t^{5}$ aus $- 10 t^{13}$ heraus.

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 18 t^{5}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.5.2

Faktorisiere $2 t^{5}$ aus $18 t^{5}$ heraus.

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.5.3

Faktorisiere $2 t^{5}$ aus $2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (9)$ heraus.

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8} + 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 t^{8}$ heraus.

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) + 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.7

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) - 1 (- 9))}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 t^{8}) - 1 (- 9)$ heraus.

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8} - 9))}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.9

Schreibe $- (5 t^{8} - 9)$ als $- 1 (5 t^{8} - 9)$ um.

$\frac{2 t^{5} (- 1 (5 t^{8} - 9))}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.11

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$ um.

$- \frac{2 t^{5} (5 t^{8} - 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$