Analysis Beispiele

$\frac{9 - x^{- 2}}{3 - x^{- 1}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3^{2} - x^{- 2}}{3 - x^{- 1}}$

Schritt 1.2

Schreibe $x^{- 2}$ als ${(x^{- 1})}^{2}$ um.

$\frac{3^{2} - {(x^{- 1})}^{2}}{3 - x^{- 1}}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x^{- 1}$ .

$\frac{(3 + x^{- 1}) (3 - x^{- 1})}{3 - x^{- 1}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(3 + \frac{1}{x}) (3 - x^{- 1})}{3 - x^{- 1}}$

Schritt 1.4.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}) (3 - x^{- 1})}{3 - x^{- 1}}$

Schritt 1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 x + 1}{x} (3 - x^{- 1})}{3 - x^{- 1}}$

Schritt 1.4.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{3 x + 1}{x} (3 - \frac{1}{x})}{3 - x^{- 1}}$

Schritt 1.4.5

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{3 x + 1}{x} (\frac{3 x}{x} - \frac{1}{x})}{3 - x^{- 1}}$

Schritt 1.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x - 1}{x}}{3 - x^{- 1}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x - 1}{x}}{3 - \frac{1}{x}}$

Schritt 2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x - 1}{x}}{\frac{3 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x - 1}{x}}{\frac{3 x - 1}{x}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{3 x + 1}{x}$ mit $\frac{3 x - 1}{x}$ .

$\frac{\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{x \cdot x}}{\frac{3 x - 1}{x}}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{x^{1} x}}{\frac{3 x - 1}{x}}$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{x^{1} x^{1}}}{\frac{3 x - 1}{x}}$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{x^{1 + 1}}}{\frac{3 x - 1}{x}}$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{x^{2}}}{\frac{3 x - 1}{x}}$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{x^{2}} \cdot \frac{x}{3 x - 1}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 1$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3 x - 1$ aus $(3 x + 1) (3 x - 1)$ heraus.

$\frac{(3 x - 1) (3 x + 1)}{x^{2}} \cdot \frac{x}{3 x - 1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 x - 1) (3 x + 1)}{x^{2}} \cdot \frac{x}{3 x - 1}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x + 1}{x^{2}} x$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{3 x + 1}{x \cdot x} x$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x + 1}{x \cdot x} x$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x + 1}{x}$