Analysis Beispiele

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{5}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{25}}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $25 x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{5}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{25}}$ mit $\frac{25 x^{2}}{25 x^{2}}$ .

$\frac{25 x^{2}}{25 x^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{5}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{25}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{25 x^{2} (\frac{1}{x} - \frac{1}{5})}{25 x^{2} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{25})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{25 x^{2} \frac{1}{x} + 25 x^{2} (- \frac{1}{5})}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $25 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (25 x) \frac{1}{x} + 25 x^{2} (- \frac{1}{5})}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (25 x) \frac{1}{x} + 25 x^{2} (- \frac{1}{5})}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25 x + 25 x^{2} (- \frac{1}{5})}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{5}$ in den Zähler.

$\frac{25 x + 25 x^{2} \frac{- 1}{5}}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $5$ aus $25 x^{2}$ heraus.

$\frac{25 x + 5 (5 x^{2}) \frac{- 1}{5}}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 x + 5 (5 x^{2}) \frac{- 1}{5}}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25 x + 5 x^{2} \cdot - 1}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $25 x^{2}$ heraus.

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{x^{2} \cdot 25 \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{x^{2} \cdot 25 \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{25 + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{25}$ in den Zähler.

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{25 + 25 x^{2} \frac{- 1}{25}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $25$ aus $25 x^{2}$ heraus.

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{25 + 25 (x^{2}) \frac{- 1}{25}}$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{25 + 25 x^{2} \frac{- 1}{25}}$

Schritt 3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{25 + x^{2} \cdot - 1}$

Schritt 4

Faktorisiere $5 x$ aus $25 x - 5 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $5 x$ aus $25 x$ heraus.

$\frac{5 x (5) - 5 x^{2}}{25 + x^{2} \cdot - 1}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $5 x$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$\frac{5 x (5) + 5 x (- x)}{25 + x^{2} \cdot - 1}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (5) + 5 x (- x)$ heraus.

$\frac{5 x (5 - x)}{25 + x^{2} \cdot - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{5 x (5 - x)}{25 - 1 \cdot x^{2}}$

Schritt 5.2

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{5 x (5 - x)}{25 - x^{2}}$

Schritt 5.3

Schreibe $25 - x^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{5 x (5 - x)}{5^{2} - x^{2}}$

Schritt 5.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$\frac{5 x (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 - x$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x}{5 + x}$