Analysis Beispiele

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{1}{x}}{h}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{\sqrt{x + h}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sqrt{x + h} x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x + h}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{x + h} x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{x + h} x} - \frac{\sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $\sqrt{x + h} x$ um.

$\frac{\frac{x}{x \sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}$ mit $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}$ mit $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h} \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.6.2

Bewege $\sqrt{x + h}$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x (\sqrt{x + h} \sqrt{x + h})}}{h}$

Schritt 1.6.3

Potenziere $\sqrt{x + h}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x ({\sqrt{x + h}}^{1} \sqrt{x + h})}}{h}$

Schritt 1.6.4

Potenziere $\sqrt{x + h}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x ({\sqrt{x + h}}^{1} {\sqrt{x + h}}^{1})}}{h}$

Schritt 1.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {\sqrt{x + h}}^{1 + 1}}}{h}$

Schritt 1.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {\sqrt{x + h}}^{2}}}{h}$

Schritt 1.6.7

Schreibe ${\sqrt{x + h}}^{2}$ als $x + h$ um.

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Schritt 1.6.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + h}$ als ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{h}$

Schritt 1.6.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{h}$

Schritt 1.6.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Schritt 1.6.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Schritt 1.6.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{1}}}{h}$

Schritt 1.6.7.5

Vereinfache.

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - \sqrt{x + h} \sqrt{x + h}}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 1.8

Multipliziere $- \sqrt{x + h} \sqrt{x + h}$ .

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Schritt 1.8.1

Potenziere $\sqrt{x + h}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - ({\sqrt{x + h}}^{1} \sqrt{x + h})}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 1.8.2

Potenziere $\sqrt{x + h}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - ({\sqrt{x + h}}^{1} {\sqrt{x + h}}^{1})}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 1.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {\sqrt{x + h}}^{1 + 1}}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 1.8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {\sqrt{x + h}}^{2}}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1

Schreibe ${\sqrt{x + h}}^{2}$ als $x + h$ um.

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Schritt 1.9.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + h}$ als ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 1.9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 1.9.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 1.9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.9.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 1.9.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{1}}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 1.9.1.5

Vereinfache.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h)}$ mit $\frac{1}{h}$ .

$\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h) h}$

Schritt 4

Stelle die Faktoren in $\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h) h}$ um.

$\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x h (x + h)}$