Analysis Beispiele

$- 8 x^{2} - 8 x + 2 < 9 x - 6$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 8 x^{2} - 8 x + 2 - 9 x < - 6$

Schritt 1.2

Subtrahiere $9 x$ von $- 8 x$ .

$- 8 x^{2} - 17 x + 2 < - 6$

Schritt 2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1

Addiere $6$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- 8 x^{2} - 17 x + 2 + 6 < 0$

Schritt 2.2

Addiere $2$ und $6$ .

$- 8 x^{2} - 17 x + 8 < 0$

Schritt 3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 8 x^{2} - 17 x + 8 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = - 8$ , $b = - 17$ und $c = 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 8 \cdot 8)}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 17$ mit $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot - 8 \cdot 8}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 8 \cdot 8$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 32 \cdot 8}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $32$ mit $8$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 256}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 6.1.3

Addiere $289$ und $256$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{545}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{545}}{- 16}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{17 \pm \sqrt{545}}{16}$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}, - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 8 {(- 5)}^{2} - 8 \cdot - 5 + 2 < 9 (- 5) - 6$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 158$ ist kleiner als die rechte Seite $- 51$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 8 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 2 < 9 (0) - 6$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $2$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 8 {(3)}^{2} - 8 \cdot 3 + 2 < 9 (3) - 6$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $- 94$ ist kleiner als die rechte Seite $21$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ Wahr

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Falsch

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Wahr

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ Wahr

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Falsch

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ oder $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16} or x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}) \cup (- \frac{17 - \sqrt{545}}{16}, \infty)$

Schritt 12