Analysis Beispiele

$\ln (x - 2) < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\ln (x - 2) = 0$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x - 2)} = e^{0}$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (x - 2) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x - 2$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $x - 2 = e^{0}$ um.

$x - 2 = e^{0}$

Schritt 2.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x - 2 = 1$

Schritt 2.3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.3.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 + 2$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x = 3$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\ln (x - 2)$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\ln (x - 2)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x - 2 > 0$

Schritt 3.2

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x > 2$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(2, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\ln ((0) - 2) < 0$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2.5$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $2.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\ln ((2.5) - 2) < 0$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $- 0.69314718$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\ln ((6) - 2) < 0$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $1.38629436$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 < x < 3$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$2 < x < 3$

Intervallschreibweise:

$(2, 3)$

Schritt 8