Analysis Beispiele

$\frac{10 e^{2 x} - 10}{e^{x} - 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 e^{2 x} - 10$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 e^{2 x}$ heraus.

$\frac{10 (e^{2 x}) - 10}{e^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $10$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{10 (e^{2 x}) + 10 (- 1)}{e^{x} - 1}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $10$ aus $10 (e^{2 x}) + 10 (- 1)$ heraus.

$\frac{10 (e^{2 x} - 1)}{e^{x} - 1}$

Schritt 1.2

Schreibe $e^{2 x}$ als ${(e^{x})}^{2}$ um.

$\frac{10 ({(e^{x})}^{2} - 1)}{e^{x} - 1}$

Schritt 1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{10 ({(e^{x})}^{2} - 1^{2})}{e^{x} - 1}$

Schritt 1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{x}$ und $b = 1$ .

$\frac{10 (e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}{e^{x} - 1}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x} - 1$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 (e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}{e^{x} - 1}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $10 (e^{x} + 1)$ durch $1$ .

$10 (e^{x} + 1)$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 e^{x} + 10 \cdot 1$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$10 e^{x} + 10$