Analysis Beispiele

$\frac{1 - n^{- 2}}{1 - n}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - n^{- 2}}{1 - n}$

Schritt 1.2

Schreibe $n^{- 2}$ als ${(n^{- 1})}^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - {(n^{- 1})}^{2}}{1 - n}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = n^{- 1}$ .

$\frac{(1 + n^{- 1}) (1 - n^{- 1})}{1 - n}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 + \frac{1}{n}) (1 - n^{- 1})}{1 - n}$

Schritt 1.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(\frac{n}{n} + \frac{1}{n}) (1 - n^{- 1})}{1 - n}$

Schritt 1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{n + 1}{n} (1 - n^{- 1})}{1 - n}$

Schritt 1.4.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{n + 1}{n} (1 - \frac{1}{n})}{1 - n}$

Schritt 1.4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{n + 1}{n} (\frac{n}{n} - \frac{1}{n})}{1 - n}$

Schritt 1.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n - 1}{n}}{1 - n}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{n + 1}{n}$ mit $\frac{n - 1}{n}$ .

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n \cdot n}}{1 - n}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Potenziere $n$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{1} n}}{1 - n}$

Schritt 3.2

Potenziere $n$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{1} n^{1}}}{1 - n}$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{1 + 1}}}{1 - n}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{2}}}{1 - n}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{2}} \cdot \frac{1}{1 - n}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{2}}$ mit $\frac{1}{1 - n}$ .

$\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{2} (1 - n)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $n - 1$ und $1 - n$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $n$ heraus.

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n) - 1)}{n^{2} (1 - n)}$

Schritt 6.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n) - 1 (1))}{n^{2} (1 - n)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- n) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n + 1))}{n^{2} (1 - n)}$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n + 1))}{n^{2} (- n + 1)}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n + 1))}{n^{2} (- n + 1)}$

Schritt 6.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(n + 1) \cdot (- 1)}{n^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $n + 1$ .

$\frac{- 1 \cdot (n + 1)}{n^{2}}$

Schritt 7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{n + 1}{n^{2}}$