Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}$ mit $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}$ .

$\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}} \cdot \frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}$ mit $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}$ .

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{(\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{{\sqrt{a + b}}^{2} + \sqrt{(a + b) (a - b)} - \sqrt{(a + b) (a - b)} - {\sqrt{a - b}}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Potenziere $\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}$ mit $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Schritt 3.2

Potenziere $\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}$ mit $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1} {(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1}}{2 b}$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1 + 1}}{2 b}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{2}}{2 b}$

Schritt 4

Schreibe ${(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{2}$ als $(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})$ um.

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Schritt 5

Multipliziere $(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{a + b} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) + \sqrt{a - b} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{a + b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{a + b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere $\sqrt{a + b} \sqrt{a + b}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Potenziere $\sqrt{a + b}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{1} \sqrt{a + b} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Schritt 6.1.1.2

Potenziere $\sqrt{a + b}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{1} {\sqrt{a + b}}^{1} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Schritt 6.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{1 + 1} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Schritt 6.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{2} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Schritt 6.1.2

Schreibe ${\sqrt{a + b}}^{2}$ als $a + b$ um.

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Schritt 6.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a + b}$ als ${(a + b)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{({(a + b)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Schritt 6.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(a + b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Schritt 6.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{{(a + b)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Schritt 6.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(a + b)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Schritt 6.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(a + b)}^{1} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Schritt 6.1.2.5

Vereinfache.

$\frac{a + b + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Schritt 6.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Schritt 6.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Schritt 6.1.5

Multipliziere $\sqrt{a - b} \sqrt{a - b}$ .

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Schritt 6.1.5.1

Potenziere $\sqrt{a - b}$ mit $1$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{1} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Schritt 6.1.5.2

Potenziere $\sqrt{a - b}$ mit $1$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{1} {\sqrt{a - b}}^{1}}{2 b}$

Schritt 6.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{1 + 1}}{2 b}$

Schritt 6.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{2}}{2 b}$

Schritt 6.1.6

Schreibe ${\sqrt{a - b}}^{2}$ als $a - b$ um.

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Schritt 6.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a - b}$ als ${(a - b)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {({(a - b)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 b}$

Schritt 6.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 b}$

Schritt 6.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{\frac{2}{2}}}{2 b}$

Schritt 6.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{\frac{2}{2}}}{2 b}$

Schritt 6.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{1}}{2 b}$

Schritt 6.1.6.5

Vereinfache.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + a - b}{2 b}$

Schritt 6.2

Addiere $a$ und $a$ .

$\frac{2 a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} - b}{2 b}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $b$ von $b$ .

$\frac{2 a + 0 + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)}}{2 b}$

Schritt 6.4

Addiere $2 a$ und $0$ .

$\frac{2 a + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)}}{2 b}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(a + b) (a - b)}$ als ${((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}} + \sqrt{(a - b) (a + b)}}{2 b}$

Schritt 7.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(a - b) (a + b)}$ als ${((a - b) (a + b))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}} + {((a - b) (a + b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

Schritt 7.3

Stelle die Faktoren von $(a - b) (a + b)$ um.

$\frac{2 a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}} + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

Schritt 7.4

Addiere ${((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ und ${((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a + 2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 a + 2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 a$ heraus.

$\frac{2 (a) + 2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (a) + 2 ({((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (a) + 2 ({((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{2 (a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Schritt 7.6

Multipliziere $(a + b) (a - b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (a + {(a (a - b) + b (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Schritt 7.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + a (- b) + b (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Schritt 7.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Schritt 7.7

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

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Schritt 7.7.1

Ordne die Faktoren in den Termen $a (- b)$ und $b a$ neu an.

$\frac{2 (a + {(a \cdot a - a b + a b + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Schritt 7.7.2

Addiere $- a b$ und $a b$ .

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + 0 + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Schritt 7.7.3

Addiere $a \cdot a$ und $0$ .

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Schritt 7.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{2 (a + {(a^{2} + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Schritt 7.8.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 (a + {(a^{2} - b \cdot b)}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Schritt 7.8.3

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.8.3.1

Bewege $b$ .

$\frac{2 (a + {(a^{2} - (b \cdot b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Schritt 7.8.3.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{2 (a + {(a^{2} - b^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (a + {(a^{2} - b^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + {(a^{2} - b^{2})}^{\frac{1}{2}}}{b}$