Analysis Beispiele

$\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{x + 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Schritt 1.3

Um $2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Schritt 1.6

Schreibe $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.6.1

Multipliziere ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1.1

Bewege ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 ({(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}) - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Schritt 1.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Schritt 1.6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Schritt 1.6.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Schritt 1.6.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{1} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache $2 {(1 + x)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 (1 + x) - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Schritt 1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 \cdot 1 + 2 x - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Schritt 1.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 + 2 x - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Schritt 1.6.5

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\frac{\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}$

Schritt 3.2

Multipliziere ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x + 1$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x + 1$ .

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{1}}$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 3.2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$