Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{3} + 8}{x + 2}$ nicht definiert ist.

$x = - 2$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{x^{3} + 2^{3}}{x + 2}$

Schritt 6.1.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x + 2}$

Schritt 6.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x + 2}$

Schritt 6.1.1.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x + 2}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x + 2}$

Schritt 6.1.2.2

Dividiere $x^{2} - 2 x + 4$ durch $1$ .

$x^{2} - 2 x + 4$

Schritt 6.2

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x^{2} - 2 x + 4$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x^{2} - 2 x + 4$

Schritt 8