Analysis Beispiele

$\sqrt{\frac{x^{2}}{64} + \frac{4}{x} + \frac{1}{2}}$

Schritt 1

Um $\frac{x^{2}}{64}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2}}{64} \cdot \frac{x}{x} + \frac{4}{x} + \frac{1}{2}}$

Schritt 2

Um $\frac{4}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{64}{64}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2}}{64} \cdot \frac{x}{x} + \frac{4}{x} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{2}}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $64 x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{64}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} x}{64 x} + \frac{4}{x} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{4}{x}$ mit $\frac{64}{64}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} x}{64 x} + \frac{4 \cdot 64}{x \cdot 64} + \frac{1}{2}}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $x \cdot 64$ um.

$\sqrt{\frac{x^{2} x}{64 x} + \frac{4 \cdot 64}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{x^{2} x + 4 \cdot 64}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} x + 256}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Schritt 6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} x^{1} + 256}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{x^{2 + 1} + 256}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Schritt 6.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Schritt 7

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{32 x}{32 x}$ .

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256}{64 x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{32 x}{32 x}}$

Schritt 8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $64 x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{32 x}{32 x}$ .

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256}{64 x} + \frac{32 x}{2 (32 x)}}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $32$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256}{64 x} + \frac{32 x}{64 x}}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256 + 32 x}{64 x}}$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$\sqrt{\frac{x^{3} + 32 x + 256}{64 x}}$

Schritt 11

Schreibe $\frac{x^{3} + 32 x + 256}{64 x}$ als ${(\frac{1}{8})}^{2} \frac{x^{3} + 32 x + 256}{x}$ um.

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Schritt 11.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x^{3} + 32 x + 256$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} (x^{3} + 32 x + 256)}{64 x}}$

Schritt 11.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $8^{2}$ aus $64 x$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} (x^{3} + 32 x + 256)}{8^{2} x}}$

Schritt 11.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (x^{3} + 32 x + 256)}{8^{2} x}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{8})}^{2} \frac{x^{3} + 32 x + 256}{x}}$

Schritt 12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{8} \sqrt{\frac{x^{3} + 32 x + 256}{x}}$

Schritt 13

Schreibe $\sqrt{\frac{x^{3} + 32 x + 256}{x}}$ als $\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{\sqrt{x}}$ um.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{\sqrt{x}}$

Schritt 14

Kombinieren.

$\frac{1 \sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}}$

Schritt 15

Mutltipliziere $\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}}$

Schritt 16

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 17

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 17.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Schritt 17.2

Bewege $\sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Schritt 17.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Schritt 17.4

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Schritt 17.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Schritt 17.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 {\sqrt{x}}^{2}}$

Schritt 17.7

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 17.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 17.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 17.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 17.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 17.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x^{1}}$

Schritt 17.7.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x}$

Schritt 18

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(x^{3} + 32 x + 256) x}}{8 x}$

Schritt 19

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt{(x^{3} + 32 x + 256) x}}{8 x}$ um.

$\frac{\sqrt{x (x^{3} + 32 x + 256)}}{8 x}$