Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x^{2}$ .

$\frac{1 (x^{2})}{x^{2}} = \frac{A (x^{2})}{x^{2}} + \frac{B (x^{2})}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2}} = \frac{A (x^{2})}{x^{2}} + \frac{B (x^{2})}{x}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (x^{2})}{x^{2}} + \frac{B (x^{2})}{x}$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A x^{2}}{x^{2}} + \frac{B (x^{2})}{x}$

Schritt 1.3.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$1 = A + \frac{B (x^{2})}{x}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $B (x^{2})$ heraus.

$1 = A + \frac{x (B (x))}{x}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 = A + \frac{x (B (x))}{x}$

Schritt 1.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$1 = A + \frac{x (B (x))}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A + \frac{x (B (x))}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$1 = A + \frac{B (x)}{1}$

Schritt 1.3.2.2.5

Dividiere $B (x)$ durch $1$ .

$1 = A + B (x)$

$1 = A + B x$

Schritt 1.4

Stelle $A$ und $B x$ um.

$1 = B x + A$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = B$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = B$

$1 = A$

$0 = B$

$1 = A$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $B = 0$ um.

$B = 0$

$1 = A$

Schritt 3.2

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$B = 0$

Schritt 3.3

Liste alle Lösungen auf.

$A = 1, B = 0$

Schritt 4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x}$