Analysis Beispiele

$z = e^{- (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $e^{- (x^{2} + y^{2})} = z$ um.

$e^{- (x^{2} + y^{2})} = z$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- (x^{2} + y^{2})}) = \ln (z)$

Schritt 3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.1

Zerlege $\ln (e^{- (x^{2} + y^{2})})$ durch Herausziehen von $- (x^{2} + y^{2})$ aus dem Logarithmus.

$- (x^{2} + y^{2}) \ln (e) = \ln (z)$

Schritt 3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- (x^{2} + y^{2}) \cdot 1 = \ln (z)$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- x^{2} - y^{2}) \cdot 1 = \ln (z)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- x^{2} - y^{2}$ mit $1$ .

$- x^{2} - y^{2} = \ln (z)$

Schritt 4

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (z)}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot \ln (z) + \frac{x^{2}}{- 1}$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (z)$ als $- \ln (z)$ um.

$y^{2} = - \ln (z) + \frac{x^{2}}{- 1}$

Schritt 5.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - \ln (z) - 1 \cdot x^{2}$

Schritt 5.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$y^{2} = - \ln (z) - x^{2}$

Schritt 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Schritt 7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Schritt 8

Setze das Argument in $\ln (z)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$z > 0$

Schritt 9

Setze den Radikanden in $\sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- \ln (z) - x^{2} \geq 0$

Schritt 10

Addiere $x^{2}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- \ln (z) \geq x^{2}$

Schritt 11

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $z$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[N o (Max i m u m), \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${z | z \geq N o (Max i m u m)}$