Analysis Beispiele

$\frac{- 4 s^{2} + s + 1}{s (s^{2} + 1)}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{s} + \frac{B s + C}{s^{2} + 1}$

Schritt 1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $s (s^{2} + 1)$ .

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s (s^{2} + 1))}{s (s^{2} + 1)} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $s$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s (s^{2} + 1))}{s (s^{2} + 1)} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s^{2} + 1)}{s^{2} + 1} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $s^{2} + 1$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s^{2} + 1)}{s^{2} + 1} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $- 4 s^{2} + s + 1$ durch $1$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Schritt 1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $s$ .

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Schritt 1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 s^{2} + s + 1 = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Schritt 1.5.1.2

Dividiere $A (s^{2} + 1)$ durch $1$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A (s^{2} + 1) + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $s^{2} + 1$ .

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Schritt 1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Schritt 1.5.4.2

Dividiere $(B s + C) (s)$ durch $1$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + (B s + C) (s)$

Schritt 1.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B s \cdot s + C s$

Schritt 1.5.6

Multipliziere $s$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.6.1

Bewege $s$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B (s \cdot s) + C s$

Schritt 1.5.6.2

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B s^{2} + C s$

Schritt 1.6

Bewege $A$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + B s^{2} + C s + A$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $s^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 4 = A + B$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $s$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = C$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $s$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$- 4 = A + B$

$1 = C$

$1 = A$

$- 4 = A + B$

$1 = C$

$1 = A$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 1$ um.

$C = 1$

$- 4 = A + B$

$1 = A$

Schritt 3.2

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = A + B$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Ersetze alle $A$ in $- 4 = A + B$ durch $1$ .

$- 4 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 1$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

Schritt 3.4

Löse in $- 4 = 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + B = - 4$ um.

$1 + B = - 4$

$A = 1$

$C = 1$

Schritt 3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 4 - 1$

$A = 1$

$C = 1$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

Schritt 3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = - 5 A = 1 C = 1$

Schritt 3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = - 5, A = 1, C = 1$

Schritt 4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{s} + \frac{B s + C}{s^{2} + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{s} + \frac{- 5 s + 1}{s^{2} + 1}$