Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{\sin (π (x - 1))} + \sqrt{4 - x^{2}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\sin (π (x - 1))}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sin (π (x - 1)) \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$π (x - 1) \geq \arcsin (0)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $π (x - 1)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$π x + π \cdot - 1 \geq \arcsin (0)$

Schritt 2.2.1.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $π$ .

$π x - 1 \cdot π \geq \arcsin (0)$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 1 π$ als $- π$ um.

$π x - π \geq \arcsin (0)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$π x - π \geq 0$

Schritt 2.4

Addiere $π$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$π x \geq π$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $π x \geq π$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $π x \geq π$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{π}{π}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \geq \frac{π}{π}$

Schritt 2.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \geq 1$

Schritt 2.6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$π x - π = π - 0$

Schritt 2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$π x - π = π$

Schritt 2.7.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.7.2.1

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$π x = π + π$

Schritt 2.7.2.2

Addiere $π$ und $π$ .

$π x = 2 π$

Schritt 2.7.3

Teile jeden Ausdruck in $π x = 2 π$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = 2 π$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Schritt 2.7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Schritt 2.7.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 π}{π}$

Schritt 2.7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.7.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{π}$

Schritt 2.7.3.3.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$x = 2$

Schritt 2.8

Ermittele die Periode von $\sin (π (x - 1))$ .

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Schritt 2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.8.2

Ersetze $b$ durch $π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| π |}$

Schritt 2.8.3

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 2.8.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 2.9

Die Periode der Funktion $\sin (π (x - 1))$ ist $2$ , d. h., Werte werden sich alle $2$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1 + 2 n, 2 + 2 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 1 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < 1$

$1 < x < 2$

Schritt 2.12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.12.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 2.12.1.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (π ((0.5) - 1)) \geq 0$

Schritt 2.12.1.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.12.2

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.5$

Schritt 2.12.2.2

Ersetze $x$ durch $1.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (π ((1.5) - 1)) \geq 0$

Schritt 2.12.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.12.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 2$ Wahr

$0 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 2$ Wahr

Schritt 2.13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$1 + 2 n \leq x \leq 2 + 2 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{4 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 - x^{2} \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 4$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 4$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Schritt 4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Schritt 4.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{4}$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 2 |$

Schritt 4.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$| x | \leq 2$

Schritt 4.5

Schreibe $| x | \leq 2$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 4.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 2$

Schritt 4.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 4.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 2$

Schritt 4.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 4.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 2$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Schritt 4.7

Löse $- x \leq 2$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Schritt 4.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Schritt 4.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Schritt 4.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.1.3.1

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$x \geq - 2$

Schritt 4.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 2$ und $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Schritt 4.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 2 \leq x \leq 2$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 2 \leq x \leq 2, x = 1 + 2 n, x = 2 + 2 n}$

Schritt 6