Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 3 x + 2}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 3 x + 2}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 3 x + 2 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} - 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, 1$

Schritt 2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2 \geq 0$

Schritt 2.8.1.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.5$

Schritt 2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $1.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(1.5)}^{2} - 3 \cdot 1.5 + 2 \geq 0$

Schritt 2.8.2.3

Die linke Seite $- 0.25$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(4)}^{2} - 3 \cdot 4 + 2 \geq 0$

Schritt 2.8.3.3

Die linke Seite $6$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 1$ Wahr

$1 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < 1$ Wahr

$1 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 1$ oder $x \geq 2$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 1] \cup [2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 1, x \geq 2}$

Schritt 4