Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (x^{2} - 2 x + 1)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{2} - 2 x + 1 > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 1$

$x > 1$

Schritt 2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1 > 0$

Schritt 2.6.1.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 1 > 0$

Schritt 2.6.2.3

Die linke Seite $9$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.6.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 1$ Wahr

$x > 1$ Wahr

$x < 1$ Wahr

$x > 1$ Wahr

Schritt 2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 1$ oder $x > 1$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1}$

Schritt 4