Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x + 3}{2 x^{2} - x - 3}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{x + 3}{2 x^{2} - x - 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x^{2} - x - 3 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$2 x^{2} - (x) - 3 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $- 1$ um als $2$ plus $- 3$

$2 x^{2} + (2 - 3) x - 3 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (x + 1) - 3 (x + 1) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x - 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{3}{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 1, \frac{3}{2}}$

Schritt 4