Analysis Beispiele

$\frac{5}{1 - \sqrt{5 x - 9}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{5 x - 9}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 x - 9 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $9$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$5 x \geq 9$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x \geq 9$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x \geq 9$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{9}{5}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{9}{5}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{9}{5}$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{5}{1 - \sqrt{5 x - 9}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - \sqrt{5 x - 9} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sqrt{5 x - 9} = - 1$

Schritt 4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{5 x - 9})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x - 9}$ als ${(5 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(5 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache ${(- {(5 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(5 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(5 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(5 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere ${({(5 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(5 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(5 x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(5 x - 9)}^{1} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.5

Vereinfache.

$5 x - 9 = {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$5 x - 9 = 1$

Schritt 4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 1 + 9$

Schritt 4.4.1.2

Addiere $1$ und $9$ .

$5 x = 10$

Schritt 4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 10$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 10$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Schritt 4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Schritt 4.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10}{5}$

Schritt 4.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.3.1

Dividiere $10$ durch $5$ .

$x = 2$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[\frac{9}{5}, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq \frac{9}{5}, x \neq 2}$

Schritt 6