Analysis Beispiele

$\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2} - 6 x}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{x^{2} - 6 x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 6 x \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 6 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 6$ heraus.

$x (x - 6) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 6$

Schritt 2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 \geq 0$

Schritt 2.8.1.3

Die linke Seite $16$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(3)}^{2} - 6 \cdot 3 \geq 0$

Schritt 2.8.2.3

Die linke Seite $- 9$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(8)}^{2} - 6 \cdot 8 \geq 0$

Schritt 2.8.3.3

Die linke Seite $16$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 0$ oder $x \geq 6$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2} - 6 x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[4]{x^{2} - 6 x} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{x^{2} - 6 x}}^{4} = 0^{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{2} - 6 x}$ als ${(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - 6 x)}^{1} = 0^{4}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} - 6 x = 0^{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 6 x = 0$

Schritt 4.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 6 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 6$ heraus.

$x (x - 6) = 0$

Schritt 4.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 4.3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.3.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 6$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (6, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < 0, x > 6}$

Schritt 6